题目内容
（2013•西城区一模）记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．设△ABC的三边边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，定义△ABC的倾斜度为t=max{
，
，
}•min{
，
，
}．
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t=
（ⅱ）设a=1，则t的取值范围是
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t=
1
1
；（ⅱ）设a=1，则t的取值范围是
[1，
)
1+
| ||
| 2 |
[1，
)
．1+
| ||
| 2 |
分析：（i）分三种a=b=c、a=b＜c和a＜b=c三种情况加以讨论，分别求出max{
，
，
}和min{
，
，
}的值，即可算出总有实数t=1成立，得到本题答案；
（ii）根据题意，可得max{
，
，
}=c且min{
，
，
}=
，因此对c＜b2和c≥b2两种情况加以讨论，利用三角形两边之和大于第三边和不等式的性质进行推导，联解不等式组可得t的取值范围是[1，
）．
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
（ii）根据题意，可得max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
|
1+
| ||
| 2 |
解答：解：（i）若a=b=c，则max{
，
，
}=min{
，
，
}=1
∴t=max{
，
，
}•min{
，
，
}=1；
若a=b＜c，则max{
，
，
}=
，min{
，
，
}=
∴t=max{
，
，
}•min{
，
，
}=
•
=
=1；
若a＜b=c，则max{
，
，
}=
，min{
，
，
}=
∴t=max{
，
，
}•min{
，
，
}=
•
=
=1
综上所述，可得若△ABC为等腰三角形，则t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{
，
，
}=max{
，
，c}=c
而min{
，
，
}=min{
，
，c}=
①当c＜b2时，t=c•
=
，可得c=tb，（t≥1）
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1时，b＜
∵c=tb＜b2，∴t＜b，可得t＜
，解之得1＜t＜
而t=1时，b=c＞a=1，符合题意．所以此时t的范围为[1，
）
②当c≥b2时，t=c•
=b，可得
∵1+b＞c且c≥b2，
∴1+b＞b2，解之得1≤b＜
即1≤t＜
，得此时t的范围为[1，
）
综上所述，可得当a=1时，t的取值范围是[1，
）．
故答案为：1，[1，
）
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
∴t=max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
若a=b＜c，则max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| b |
| c |
∴t=max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| a |
若a＜b=c，则max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
∴t=max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| c |
综上所述，可得若△ABC为等腰三角形，则t=1；
（ii）∵a=1，a≤b≤c，
∴max{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| c |
而min{
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| c |
|
①当c＜b2时，t=c•
| 1 |
| b |
| c |
| b |
∵由1+b＞c，得1+b＞tb，∴t≠1时，b＜
| 1 |
| t-1 |
∵c=tb＜b2，∴t＜b，可得t＜
| 1 |
| t-1 |
1+
| ||
| 2 |
而t=1时，b=c＞a=1，符合题意．所以此时t的范围为[1，
1+
| ||
| 2 |
②当c≥b2时，t=c•
| b |
| c |
∵1+b＞c且c≥b2，
∴1+b＞b2，解之得1≤b＜
1+
| ||
| 2 |
即1≤t＜
1+
| ||
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
综上所述，可得当a=1时，t的取值范围是[1，
1+
| ||
| 2 |
故答案为：1，[1，
1+
| ||
| 2 |
点评：本题给出三角形三边中任意两边的比值，求它们的最大值与最小值之积的取值范围，着重考查了函数最值的意义、三角形两边之和大于第三边、不等式的基本性质和不等式的解法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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