Question

5．若直线y=x+b与曲线y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$有公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． [1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]
• B． [1-$\sqrt{2}$，3]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，3]
• D． [-1，1+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 曲线即 （x-2）²+（y-3）²=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+2$\sqrt{2}$，b=1-2$\sqrt{2}$．结合图象可得b的范围．

解答 解：如图所示：曲线y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，
即 （x-2）²+（y-3）²=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，
可得$\frac{|2-3-b|}{\sqrt{2}}$=2，
∴b=1+2$\sqrt{2}$，或b=1-2$\sqrt{2}$．
结合图象可得1-2$\sqrt{2}$≤b≤3，
故选C．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．