Question

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是圆O上在第一象限的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，△AOB的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，可得，利用过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切，可得c=2，从而可知b=1，故可得双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，利用圆心O到直线l的距离，可得m²=3k²+3，联立方程，消去y可得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0，计算线AB的长，利用△AOB的面积为，即可求直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，
∴，（2分）
设过C的右焦点且斜率为的直线方程为y=（x-c）
∵过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切，
∴，∴c=2，
∴b²=c²-a²=1，∴b=1
∴双曲线C的方程为（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
圆心O到直线l的距离，由得m²=3k²+3（6分）
由得（3k²-1）x²+6kmx+3m²+3=0
则，（8分）
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又△AOB的面积，∴（10分）
由，解得k=-1，，
∴直线l的方程为．（12分）
点评：本题考查双曲线与圆的综合，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，同时考查三角形面积的计算，综合性较强．