题目内容
已知双曲线C：
（a>0,b>0）的左、右焦点分别为
、
，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且
，证明：
、
、
成等比数列.
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由题设知
，即
，故
.
所以C的方程为
.
将y=2代入上式，求得
.
由题设知，
，解得
.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，C的方程为
. ①
由题意可设
的方程为
，
，代入①并化简得
.
设
，
，则
，
，
，
.
于是
，
由
得
，即
.
故
，解得
，从而
.
由于
，
.
故
，
.
因而
，所以
、
、
成等比数列.
（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义
的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项。
【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计算能力.
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、
、
成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
；
=1（a＞0,b＞0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|
|、|
|、|
|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.
·
=
·
；
=1(a＞0,b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且|
|、|
|、|
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·
=
·
；
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