Question

已知双曲线C:=1（a＞0,b＞0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

（1）求证：·=·；

（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.

Answer 1

解析：（1）l:y=-(x-c),

∴P().

由||、||、||成等比数列得A（,0）,

∴=(0,-), =(,), =(-,).

∴·=·.

（2）

∴b²x²-(x-c)²=a²b².

即(b²-)x²+2cx-(+a²b²)=0,

∴Δ＞0恒成立.

∴x₁·x₂=＜0.

∴b⁴＞a⁴,即b²＞a².

∴c²-a²＞a²e＞.