Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（1）求集合M
（2）当x∈M∩N时，是否存在实数k使得x²f（x）+x[f（x）]²≤k恒成立，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由所给的不等式可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，或

x＜1 1-x≤1

 ②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求；
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，

3

4

]．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，h（x）=

1

4

-（x-

1

2

）²，显然它小于或等于

1

4

，最大值即可得到，令k不小于最大值即可．

解答： 解：（1）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，
或

x＜1 1-x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集M为[0，

4

3

]．
（2）由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵当x∈M∩N时，
f（x）=1-x，h（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]
=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，当且仅当x=

1

2

时，取得最大值

1

4

．
则函数的最大值为

1

4

．
故存在实数k，使得x²f（x）+x[f（x）]²≤k恒成立，
且k≥

1

4

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．