Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，BC=PB=PC，PO⊥AD，O为BC的中点．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求证：PO⊥底面ABCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明AB∥CD，由CD?平面PCD，AB?平面PCD，AB，CD?平面ABCD，即可判定AB∥平面PCD；
（2）要证PO⊥底面ABCD，只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可；

解答： 证明：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
∵CD?平面PCD，AB?平面PCD，AB，CD?平面ABCD，
∴AB∥平面PCD；
（2）∵PB=PC=BC，O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，属于中档题．