题目内容

在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+
tanC
tanB
=
2a
b
，若c=
3
，则a+b的取值范围为
 
．
考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用,三角函数的最值
专题：解三角形
分析：直接通过切化弦以及正弦定理，求出C的大小，利用余弦定理以及基本不等式，得到a+b的不等式，求解即可．
解答： 解：由1+
tanC
tanB
=
2a
b
，可得：1+
sinCcosB
sinBcosC
=
2sinA
sinB
，
即：
sinBcosC+sinCcosB
sinBcosC
=
2sinA
sinB
，
可得：
sinA
sinBcosC
=
2sinA
sinB
，∵A、B是三角形内角，
∴cosC=
1
2
，∴C=
π
3
．
由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC．
即3=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab，ab≤（
a+b
2
）2，
3=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-3(
a+b
2
)2=
(a+b)2
4
，解得：a+b≤2
3
．
∵a+b＞c，
∴
3
＜a+b≤2
3
．
故答案为：（
3
，2
3
]．
点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知（sinA+sinB）（a-b）=（sinC-sinB）c，S△ABC=
3
，c=4b，则函数f（x）=bx2-ax+c零点数为
 
．
已知数列{an}的前n项之和为Sn（n∈N*），且满足an+Sn=2n+1．
（1）求证数列{an-2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
1
2a1a2
+
1
22a2a3
+…+
1
2nanan+1
＜
1
3
．
已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[-1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（　　）
A、3B、4C、5D、6
若函数f（x）=x2+2x+3a存在零点，则实数a的取值范围是（　　）
A、（-∞，
1
3
）
B、（
1
3
，+∞）
C、（-∞，
1
3
]
D、[
1
3
，+∞）
在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，给出如下四个结论：
①2015∈[3]；
②-2∈[2]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中正确的结论个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
函数y=lnx-2的导数为
 
．
求下列函数的导函数．
（1）y=ln
x2-1
；
（2）y=sin2（2x+
π
3
）．
已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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