Question

已知数列{a_n}的前n项之和为S_n（n∈N^*），且满足a_n+S_n=2n+1．
（1）求证数列{a_n-2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

＜

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式可得an=

1

2

an-1+1，变形an-2=

1

2

(an-1-2)，即可证明；
（2）

1

2nanan+1

=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

，再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 证明：（1）由a_n+S_n=2n+1，当n=1时，a₁+a₁=2+1，解得a1=

3

2

．
当n≥2时，a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，∴a_n-a_n-1+a_n=2，即an=

1

2

an-1+1，
变形an-2=

1

2

(an-1-2)，
∴数列{a_n-2}是等比数列，首项为a₁-2=-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴an-2=-(

1

2

)n，
an=2-

1

2n

．
（2）

1

2nanan+1

=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

，
∴

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

=(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)+…+(

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

)
=

1

3

-

1

2n+2-1

＜

1

3

．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．