Question

20．在△ABC中，边a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos（A-B）=2sinAsinB．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若a=3，c=6，CD为角C的角平分线，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简可求C=$\frac{π}{2}$，即可判定三角形的形状．
（2）由已知利用勾股定理可求b，利用三角形内角和定理可求∠ADC，由正弦定理可求CD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由cos（A-B）=2sinAsinB，得cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，…（2分）
∴cosAcosB-sinAsinB=0，
∴cos（A+B）=0，
∴C=$\frac{π}{2}$．…（6分）
故△ABC为直角三角形．
（2）由（Ⅰ）知C=90°，又a=3，c=6．
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，A=30°，∠ADC=180°-30°-45°=105°，…（8分）
由正弦定理得$\frac{CD}{sinA}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{3}}{sin105°}$×sin30°=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了两角差的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，勾股定理，三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．