Question

定义在（-2，2）上的函数f（x）=x³+x，若f（m-1）+f（2m-1）＞0，则实数m的取值范围为

（-

1

2

，0）

．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性的定义，证出f（x）在其定义域（-2，2）上是奇函数，从而将不等式f（m-1）+f（2m-1）＞0化成f（m-1）＞f（-2m+1）．再利用导数研究函数的单调性，可得函数f（x）在（-2，2）上是增函数，由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．

解答：解：∵f（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函数f（x）在其定义域（-2，2）上是奇函数
因此，不等式f（m-1）+f（2m-1）＞0可化成f（m-1）＞-f（2m-1）
即f（m-1）＞f（-2m+1），
∵函数f（x）=x³+x，求导数得f'（x）=3x²++1＞0
∴函数f（x）在其定义域（-2，2）上是增函数
由此可得原不等式等价于

-2＜m-1＜2 -2＜-2m+1＜2 m-1＞-1+2m

，解之得-

1

2

＜m＜0
即实数m的取值范围为（-

1

2

，0）
故答案为：（-

1

2

，0）

点评：本题给出以三次式项式函数为载体的函数，在已知它的单调性和奇偶性情况下求解关于m的不等式，着重考查了函数的单调性、奇偶性等基本性质和不等式的解法等知识点，属于中档题．