Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为（0＜＜1，则出厂价相应提高的比例为0.7，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为0.4，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？
（2）年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

（1）；（2）当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

试题分析：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），     2分
因此本年度的利润为

即：  6分
由，     得       8分
（2）本年度的利润为

则         10分
由 
当是增函数；当是减函数.
∴当时，万元，      12分
因为在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，       14分
所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．      16分
点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出的解析式并指明定义域。