Question

5．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆Γ过点A（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），L、N为椭圆Γ上关于原点对称的两点．
（I）求椭圆Γ的方程；
（2）已知圆Ω以原点为圆心，2为半径，Q为圆Ω上的点；记M为椭圆的右顶点，延长MN交圆Ω于P，直线PQ过点（-$\frac{6}{5}$，0）．求证：直线NL的斜率与直线PQ的斜率之比为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）M（2，0），设N（x₀，y₀），则直线NL的斜率=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${x}_{0}^{2}$-4=-4${y}_{0}^{2}$．圆Ω的方程为：x²+y²=4．直线MN的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），与圆的方程联立化为：$[（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}]$x²-4${y}_{0}^{2}$x+$4{y}_{0}^{2}$-4$（{x}_{0}-2）^{2}$=0，利用根与系数的关系可得点P的横坐标x_P，进而得到y_P，再利用斜率计算公式可得k_PQ，即可得出结论．

解答 （I）解：由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆Γ的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）证明：M（2，0），设N（x₀，y₀），则直线NL的斜率=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${x}_{0}^{2}$-4=-4${y}_{0}^{2}$．
圆Ω的方程为：x²+y²=4．
直线MN的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为：$[（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}]$x²-4${y}_{0}^{2}$x+$4{y}_{0}^{2}$-4$（{x}_{0}-2）^{2}$=0，
∴2x_P=$\frac{4{y}_{0}^{2}-4（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，可得x_P=$\frac{2{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，∴y_P=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x_P-2）=$\frac{-4{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{4{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}{-\frac{6}{5}-\frac{2{y}_{0}^{2}-2（{x}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{5{y}_{0}（{x}_{0}-2）}{（{x}_{0}-2）^{2}-4{y}_{0}^{2}}$，
∴$\frac{{k}_{NL}}{{k}_{PQ}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}-4{y}_{0}^{2}}{5{y}_{0}（{x}_{0}-2）}$=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}+{x}_{0}^{2}-4}{5{x}_{0}（{x}_{0}-2）}$=$\frac{2}{5}$为定值．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．