Question

5．已知双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），A（0，b），C（0，-b），B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于D，若双曲线离心率为2，则∠BDF的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{14}$
• D． $\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$

Answer 1

分析 根据离心率的关系求出a，b，c的关系，利用∠BDF的余弦值与向量夹角之间的关系转化为向量数量积进行求解即可．

解答 解：双曲线离心率为2，
∴e=$\frac{c}{a}=2$，即c=2a，则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
则F（-c，0），B（-a，0），
则cos∠BDF=cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{BA}$＞，
$\overrightarrow{CF}$=（-c，b），$\overrightarrow{BA}$=（a，b），
则cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{{b}^{2}-ac}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}•\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}}$
=$\frac{3{a}^{2}-2{a}^{2}}{\sqrt{3{a}^{2}+4{a}^{2}}•2a}$=$\frac{{a}^{2}}{2\sqrt{7}{a}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据向量夹角与∠BDF的余弦值的关系转化为向量数量积是解决本题的关键．