Question

14．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于G，H两点．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥平面ABCDE，且PA=AE，求平面PCD与平面ABF所成角（锐角）的余弦值，并求线段PH的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥DE，从而AB∥平面PDE，由此能证明AB∥FG．
（2）以A为原点，分别以AM，AE，AP为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PCD与平面ABF所成角（锐角）的余弦值和PH的长．

解答 证明：（1）在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，
∵AB?平面PDE，DE?平面PDE，∴AB∥平面PDE，
∵AB?平面ABF，且面ABF∩平面PDE=FG，
∴AB∥FG．
解：（2）∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，
∴以A为原点，分别以AM，AE，AP为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），D（2，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=a-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
设平面PCD与平面ABF所成角（锐角）为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面PCD与平面ABF所成角（锐角）的余弦值为$\frac{1}{2}$．
设点H（μ，v，w），∵点H 在棱PC上，设$\overrightarrow{PH}=λ\overrightarrow{PC}$（0＜λ＜1），
则（μ，v，w）=λ（2，1，-2），∴μ=2λ，v=λ，w=2-2λ，
∵平面ABF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}$=-λ+2-2λ=0，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴H（$\frac{4}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），∴PH=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}+（2-\frac{2}{3}）^{2}}$=2．

点评 本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．