Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，设b_n=$\frac{a_n}{n}$，n∈N*．
（1）证明{b_n}是等比数列（指出首项和公比）；
（2）求数列{log₂b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$=2•$\frac{a_n}{n}$．可得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2，即可证明．
（2）由（1）可知b_n=1•2^n-1=2^n-1，可得log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1．利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）证明：由a_n+1=$\frac{2（n+1）}{n}{a_n}$，得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}$=2•$\frac{a_n}{n}$．所以b_n+1=2b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=2．
又因为b₁=$\frac{a_1}{1}=1$，所以数列{b_n}是以1为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知b_n=1•2^n-1=2^n-1，所以log₂b_n=log₂ 2^n-1=n-1．
则数列{log₂b_n}的前n项和T_n=1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．