Question

3．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}y-x≤2\\ x+y≥4\\ 3x-y≤5\end{array}\right.$，若目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是m＞1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=mx+z斜率的变化，从而求出m的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，

由z=y-mx，得y=mx+z，即直线的截距最大，z也最大，
若m=0，此时y=z，不满足条件；
若m＞0，目标函数y=mx+z的斜率k=m＞0，要使目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），
则直线y=mx+z的斜率m＞1
若m＜0，目标函数y=mx+z的斜率k=m＜0，不满足题意．
综上，m＞1．
故答案为：m＞1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对m进行分类讨论，是中档题．