Question

9．已知曲线2x²-y²=2，过点P（2，1）的直线l与曲线相交于A，B两点．
（1）若直线AB平行于y轴，求线段AB的长；
（2）若直线l绕P点转动，当点P为线段AB的中点时，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得直线为y=1，代入双曲线的方程可得x，即可得到线段AB的长；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，相减结合中点坐标公式和直线的斜率公式，可得直线AB的斜率，由点斜式方程可得直线l的方程，注意代入双曲线的方程，检验判别式是否大于0．

解答 解：（1）若直线AB平行于y轴，可得直线AB：y=1，
代入双曲线的方程，可得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得|AB|=$\sqrt{6}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
相减可得，2（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
即有直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
可得直线l的方程为y-1=4（x-2），即为y=4x-7．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得14x²-56x+51=0，
由△=56²-4×14×51=280＞0，可得直线存在．
故直线l的方程为y=4x-7．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，注意联立直线方程，同时考查点差法的运用，注意检验直线的存在性，考查运算能力，属于中档题和易错题．