Question

如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.

(I)求证:平面;
(II)求证:平面;
(III)若二面角的大小为,求的长.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（III）.

试题分析：（Ⅰ）证明平面，就是证明平面，只需证明与平面内的两条直线垂直，即可证明平面；（Ⅱ）证明平面，只需证明与平面的一条直线平行，这里采用证明平行四边形的目的来证明与平面的一条直线平行；（III）借助空间向量法计算当为时的长.
试题解析：(I)证明:在长方体中,
因为平面,所以.
因为,所以四边形为正方形,因此,
又,所以平面.
又,且,
所以四边形为平行四边形.
又在上,所以平面.
4分
(II)取的中点为,连接.
因为为的中点,所以且,
因为为的中点,所以,
而,且,
所以,且,
因此四边形为平行四边形,
所以,而平面,
所以平面.
9分
(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,

则,
故.
由(I)可知平面,所以是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为,则,
所以
令,则,所以.
设与所成的角为,则.
因为二面角的大小为,
所以,即,
解得,
即的长为1.                       14分