Question

已知函数 ，其中a∈R，

（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的定义域和极值；

（Ⅱ）当a=1时，试确定函数 的零点个数，并证明.

 

Answer 1

（Ⅰ）且；函数有极小值;（Ⅱ）函数存在两个零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由分母不为0，求出函数的定义域，利用导数的正负性，求出函数的单调区间，从而求出极值；（Ⅱ）利用导数求出函数的单调区间，知函数是先增后减再增的，又极大值为0，极小值小于0，从而判断函数有两面个零点.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为且， 2分

．令，得．当变化时，和的变化情况如下：

	－	－		＋
	↘	↘	极小	↗

 

所以的单调减区间为，；单调增区间．

故当时，函数有极小值. 5分

（Ⅱ）结论：函数存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数．

因为．所以函数的定义域为．求导，得

， 7分

令，得，，当变化时，和的变化情况如下：

			—
	↗	极大	↘	极小	↗

故函数的单调减区间为；单调增区间为，．

当时，函数有极大值；

当时，函数有极小值. 10分

因为函数在单调递增，且，所以对于任意，.

因为函数在单调递减，且，所以对于任意，.

因为函数在单调递增，且，，

所以函数在上存在唯一，使得，

故函数存在两个零点（即和）. 12分.

考点：1.利用导数研究函数的极值；2.函数的定义域及其求法．