Question

已知函数，，是常数．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；

（3）证明：，存在，使．

 

Answer 1

（1）；（2）；（2）答案详见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求导函数，由导数的几何意义得所求切线的斜率为，利用直线的点斜式方程求出的图象在点处的切线方程；（2）由，故函数图象上的点都在第一象限等价于恒成立，当时，，满足；当时，显然不满足；当时，参变分离为，求右侧函数的最小值即可，从而得关于的不等式，解不等式的的取值范围；（3）依题意，存在，使等价于方程函数有零点.

试题解析：（1）函数的定义域为,

，

函数的图象在点处的切线为，

即 4分

（2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，

②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立

③时，由得，设，

	－
	↘	极小值	↗

 

，从而，

综上所述，常数的取值范围 8分

（3）计算知

设函数

，

当或时，

，

因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；

当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且

，

此时存在（或），使

综上所述，，存在，使 12分

考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值.