Question

已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程．

（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点），求实数的取值范围

 

Answer 1

（1） ；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；

根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求椭圆方程．

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设

将直线方程代入椭圆方程得：

根据得到；

设,应用韦达定理．

讨论当k=0，的情况，确定的不等式．

试题解析：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,

∴圆心到直线的距离

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得 ∴

故所求椭圆方程为 4分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设

将直线方程代入椭圆方程得： 6分

∴

∴

设,则 8分

当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，成立，故，t=0符合题意。

当时

得

∴ 10分

将上式代入椭圆方程得：

整理得：

由知

所以 12分

考点：1．椭圆的方程及其几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．