Question

3．已知M（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的一点，F₁，F₂是C上的两个焦点，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，则x₀的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
• C． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x₀的取值范围．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，的焦点坐标F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）
则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=x₀²-3+y₀²=$\frac{3{x}_{0}^{2}}{4}$-2，
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$＜0，
∴$\frac{3{x}_{0}^{2}}{4}$-2＜0，
解得：-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故答案选：C．

点评 本题考查向量的数量积公式、椭圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．