Question

如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近 的一点，为圆周上靠近 的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）求观光路线总长的最大值.

Answer 1

（1） ，（2）

【解析】

试题分析：（1）函数应用题，必须明确题意：观光路线总长为圆弧与线段之和，由弧长公式得，由直角三角形得，所以，根据实际意义得函数的定义域为

（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求零点，列表分析函数变换趋势得函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即.

试题解析：（1）由题意知，， 2分

， 5分

因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，

所以

所以 ， 7分

（2）记,则， 9分

令，得， 11分

列表

x	（0，）		（，）
	＋	0	－
f （x）	递增	极大值	递减

所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 13分

即，

答：观光路线总长的最大值为千米． 14分

考点：函数解析式，利用导数求函数最值