Question

6．数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N₊），则数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10项和为（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{20}{11}$
• C． $\frac{11}{20}$
• D． $\frac{5}{7}$

Answer 1

分析 利用“累加求和”可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N₊），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10项和=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）]$
=2×$（1-\frac{1}{11}）$
=$\frac{20}{11}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．