Question

8．已知椭圆T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设P（2，0），A，B是椭圆T上关于x轴对称的两个不同的点，连接PB交椭圆T于另一点E，求证直线AE恒过定点．

Answer 1

分析 （1）由椭圆可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，联立解出即可得出．
（2）设B（x₀，y₀），则A（x₀，-y₀）．直线PB的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），与椭圆T的方程联立可得：（3-2x₀）x²-$4{y}_{0}^{2}$x-3${x}_{0}^{2}$+4x₀=0．利用根与系数的关系可得：x₀x_E=$\frac{-3{x}_{0}^{2}+4{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，可得x_E，代入直线方程可得：y_E．于是k_AE．得出直线AE的方程即可证明．

解答 （1）解：由椭圆可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
联立解得a²=2，b²=1，c=1．
∴椭圆T的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）证明：设B（x₀，y₀），则A（x₀，-y₀）．
直线PB的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），与椭圆T的方程联立可得：（3-2x₀）x²-$4{y}_{0}^{2}$x-3${x}_{0}^{2}$+4x₀=0．
∴x₀x_E=$\frac{-3{x}_{0}^{2}+4{x}_{0}}{3-2{x}_{0}}$，可得x_E=$\frac{3{x}_{0}-4}{2{x}_{0}-3}$，代入直线方程可得：y_E=$\frac{-{y}_{0}}{2{x}_{0}-3}$．
∴k_AE=$\frac{\frac{-{y}_{0}}{2{x}_{0}-3}-（-{y}_{0}）}{\frac{3{x}_{0}-4}{2{x}_{0}-3}-{x}_{0}}$=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$．
∴直线AE的方程为：y+y₀=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$（x-x₀）．
整理为：y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-1}（x-1）$．
可得直线AE经过定点（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．