Question

19．已知双曲线C与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1有公共焦点，且过点（2，$\sqrt{2}$）．求双曲线C的方程．

Answer 1

分析 由双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1求得其焦点坐标，即可求得c=2，由双曲线的性质可知：b²=4-a²，可设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，将点（2，$\sqrt{2}$）代入即可求得a和b的值，求得双曲线C的方程．

解答 解：由双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1焦点在x轴上，
焦点坐标为：（-2，0），（2，0），
∴c=2，
由双曲线的性质可知：a²+b²=2²，则b²=4-a²，
设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，
又双曲线过点（2，$\sqrt{2}$），代入可得：$\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{2}{4-{a}^{2}}=1$，
解得：a²=2，b²=2
故所求双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查利用待定系数法求双曲线的方程，考查计算能力，属于中档题．