Question

已知，函数.

(1)时，写出的增区间；

(2)记在区间[0,6]上的最大值为，求的表达式；

(3)是否存在，使函数在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 (1)；

 (2)当0≤x≤t时，f(x)＝；当x＞t时，f(x)＝.

因此，当x∈(0，t)时，f′(x)＝＜0，f(x)在(0，t)上单调递减；

当x∈(t，＋∞)时，f′(x)＝＞0，f(x)在(t，＋∞)上单调递增．

①若t≥6，则f(x)在(0,6)上单调递减，g(t)＝f(0)＝.

②若0＜t＜6，则f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增．

所以g(t)＝mtx{f(0)，f(6)}．

而f(0)－f(6)＝，故当0＜t≤2时，g(t)＝f(6)＝；

当2＜t＜6时，g(t)＝f(0)＝.综上所述，g(t)＝

(3)由(1)知，当t≥6时，f(x)在(0,6)上单调递减，故不满足要求．

当0＜t＜6时，f(x)在(0，t)上单调递减，在(t,6)上单调递增．

若存在x₁，x₂∈(0,6)(x₁＜x₂)，使曲线y＝f(x)在(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))两点处的切线互相垂直，则x₁∈(0，t)，x₂∈(t,6)，且f′(x₁)·f′(x₂)＝－1，

即.亦即x₁＋3t＝.(*)

由x₁∈(0，t)，x₂∈(t,6)得x₁＋3t∈(3t,4t)，∈.

故(*)成立等价于集合T＝{x|3t＜x＜4t}与集合B＝的交集非空．因为＜4t，所以当且仅当0＜3t＜1，即0＜t＜时，T∩B≠.

综上所述，存在t使函数f(x)在区间(0,6)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且t的取值范围是.