题目内容

10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则f（7.5）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，得到函数的周期为，利用函数的周期性进行转化求解即可．

解答 解：由f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，得f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），即函数的周期是2的周期函数，
则f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=$\frac{1}{f（-0.5+1）}$=$\frac{1}{f（0.5）}$，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，
∴f（0.5）=20.5=${2}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，
则f（7.5）=$\frac{1}{f（0.5）}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．

练习册系列答案
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（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求f（x1+x2）的值；
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15．已知点P（sinθ-cosθ，sinθ+tanθ）在第一象限，则在[0，2π]内θ的取值范围是（　　）
A．（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）∪（π，$\frac{5π}{4}$）B．（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）∪（π，$\frac{5π}{4}$）C．（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）∪（$\frac{5π}{4}，\frac{3π}{2}$）D．（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$）
2．（2015年1月•丰台期末•16）如图．某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC．开机后它从A点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变-次运动方向（假设按此方式无限运动下去）．运动过程中随时记录逆时针运动的总路程s1和顺时针运动的总路程s2．x为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x=s1，顺时针运动时x=-s2．机器人到A点的距离d与x满足函数关系d=f（x）．现有如下结论：
①f（x）的值域为[0.1]；                                            
②f（x）是以3为周期的函数；
③f（x）是定义在R上的奇函数：
④f（x）在区间产[-3．-2]上单调递增．
其中正确的有①②④（写出所有正确结论的编号）．
19．已知α∈（π，2π），tanα=$\frac{1}{2}$，则sinα+cosα等于（　　）
A．-$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$B．$-\frac{2}{5}\sqrt{5}$C．$\frac{3}{5}\sqrt{5}$D．$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
20．直线l与椭圆4x2+y2=4交于P，Q两点，若OP⊥OQ，则l在两坐标轴上的截距乘积最小值为（　　）
A．$\frac{5}{6}$B．$\frac{8}{5}$C．2D．$\frac{12}{5}$

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