Question

2．（2015年1月•丰台期末•16）如图．某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC．开机后它从A点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变-次运动方向（假设按此方式无限运动下去）．运动过程中随时记录逆时针运动的总路程s₁和顺时针运动的总路程s₂．x为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x=s₁，顺时针运动时x=-s₂．机器人到A点的距离d与x满足函数关系d=f（x）．现有如下结论：
①f（x）的值域为[0.1]；                                            
②f（x）是以3为周期的函数；
③f（x）是定义在R上的奇函数：
④f（x）在区间产[-3．-2]上单调递增．
其中正确的有①②④（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析 根据问题的情景，对自变量x分类讨论，当x∈[0，3]时，分成三段，当x∈[-3，0）也分成三段，再根据所确定的函数式，画出函数f（x）的图象，最后根据图象确定各说法的正误．

解答 解：∵x∈[0，3]时，点P作逆时针运动，分段如下：
（1）当x∈[0，1]，点P在AB上，f（x）=x；
（2）当x∈（1，2]，点P在BC上，在△ABP中运用余弦定理，f（x）=$\sqrt{x^2-3x+3}$；
（3）当x∈（2，3]时，点P在CA上，f（x）=3-x，
又∵x∈[-3，0）时，点P作顺时针运动，函数时求解方法同上，
（1）当x∈[-1，0），点P在AC上，f（x）=-x；
（2）当x∈[-2，-1），点P在BC上，在△ACP中运用余弦定理，f（x）=$\sqrt{x^2+3x+3}$；
（3）当x∈[-3，-2）时，点P在BA上，f（x）=3-x，
根据以上分析，画出函数f（x）的图象，如右图，显然：
①正确；
②正确；
③错误，该函数为偶函数；
④正确．
故填：①②④．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，分段函数的性质，涉及奇偶性，周期性，值域及单调性和单调区间，属于中档题．