Question

15．已知α、β为锐角，若sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，则cos2β的值为（　　）

• A． $-\frac{117}{125}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $-\frac{117}{125}$或$\frac{3}{5}$
• D． $\frac{117}{125}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，由题意求得范围π＞α+β＞$\frac{π}{2}$，从而可求cos（α+β）的值，进而可求cosβ的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β 的值．

解答 解：α、β都是锐角，且sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos（α+β）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=±$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（2cosβ+sinβ）=$\frac{3}{5}$，
∴2cosβ+sinβ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，①
∵cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，α＞$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞sin（α+β）=$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{2}$，
∴π＞α+β＞$\frac{π}{2}$，
∴cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{4}{5}$，
$\frac{\sqrt{5}}{5}$（cosβ-2sinβ）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosβ-2sinβ=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，②
解①②，得cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$，
∴cos2β=2cos²β-1=-$\frac{117}{125}$．
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．