Question

【题目】已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点.

（1）若与轴垂直，且，求的值；

（2）若，且的横坐标之和为，证明：.

（3）设直线与轴交于点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】

（1）把代入双曲线方程求得坐标，由可求得；

（2）设，设直线方程为，代入双曲线方程应用韦达定理得，由可求得，再由数量积的坐标运算计算出可得结论；

（3）设方程为，且，由可用表示出，代入双曲线方程得，同理.故是方程的两根.由韦达定理可得结论．

（1），，，

∴.

（2），设，显然直线斜率存在，设方程为，并与联立得，由得，此时.

.

（3）有题意可知直线斜率必存在，设方程为，且.由得，所以，，又由于点在双曲线上，故化简得，同理.故是方程的两根.则为定值.