Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）若当时取得极值，求a的值及的单调区间；

（Ⅱ）若存在两个极值点，，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）见解析

【解析】

（1）求导数，由题意可知为方程的根，求解值，再令导数，，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.

（2）函数存在两个极值点，等价于方程即在上有两个不等实根，则，即可，再将变形整理为；若证明不等式，则需证明，由变形为，不妨设，即证，令，则，求函数的取值范围，即可证明.

（Ⅰ）

∵时，取得极值，

∴，．

∴

由得或，

由得

∴的单调增区间为和，单调减区间为．

（Ⅱ）

∵存在两个极值点，

∴方程即在上有两个不等实根

∴且，

∴所证不等式等价于

即变形为

不妨设，即变形为

令，变形为，

令

则，

∴在上递增．

∴，

∴成立，

∴成立．