Question

【题目】在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接，，可证，再证，即可得到平面平面，从而得证；

（Ⅱ）不妨设，则，可证平面，从而得到平面平面，过点作交于点，连接，

则平面，所以是直线与平面所成的角，最后根据余弦定理及三角函数的定义计算可得；

（Ⅰ）证明：如图所示，取的中点，连接，

由题意得，所以，因为面，面，

所以面，

又因为点是的中点，，

所以点是的中点，故，

因为面，面，

所以面，

又因为，面，面，

所以平面平面，又因为平面，所以平面．

（Ⅱ）不妨设，则，

所以，即，又因为且，平面，平面，

所以平面，

又平面，故平面平面．因为平面平面，

过点作交于点，连接，

则平面，所以是直线与平面所成的角．

在中，，所以，

在中，，由余弦定理得，

在中，，所以直线与平面所成角的正切值为．