Question

6．已知连续型随机变量X的概率密度为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x\\;（0≤x＜1）}\\{2-x\\;（1≤x＜2）}\\{0\\;（其他）}\end{array}\right.$．求X的分布函数．

Answer 1

分析 由连续型随机变量X的概率密度为f（x），利用定积分能求出X的分布函数．

解答 解：当x＜0时，F（x）=${∫}_{-∞}^{x}f（x）dx$=${∫}_{-∞}^{x}0dx$=0，
当0≤x＜1时，F（x）=${∫}_{-∞}^{x}f（x）dx$=${∫}_{-∞}^{0}0dx{+∫}_{0}^{x}xdx$=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
当1≤x＜2时，F（x）=${∫}_{-∞}^{x}f（x）dx$=${∫}_{-∞}^{0}0dx{+∫}_{0}^{1}xdx+{∫}_{1}^{x}（2-x）dx$=2x-2x²-1，
当x＞2时，F（x）=1，
∴X的分布函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜0}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}，0≤x＜1}\\{2x-2{x}^{2}-1，1≤x＜2}\\{1，x＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查连续型随机变量X的分布函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定积分的合理运用．