Question

设x，y均为正数，且方程（x²+xy+y²）•a=x²-xy+y²成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  3

  ，1）
• B、[

  1

  2

  ，1）
• C、[

  1

  3

  ，

  3

  2

  ）
• D、（

  1

  2

  ，2]

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：将条件变形，令

y

x

=t（t＞0），方程可化为（a-1）t²+（a+1）t+a-1=0，有正根，分类讨论，利用方程根的研究方法，即可得出结论．

解答： 解：∵（x²+xy+y²）•a=x²-xy+y²，
∴（

y2

x2

+

y

x

+1）•a=

y2

x2

-

y

x

+1．
令

y

x

=t（t＞0），方程可化为（a-1）t²+（a+1）t+a-1=0，有正根，
当a=1时，显然不成立，
当a≠1时，∵方程（a-1）t²+（a+1）t+a-1=0只能有两正根，
∴△=（a+1）²-4（a-1）²＞0，且-

a+1

a-1

＞0，
∴

1

3

≤a＜1．
故选：A．

点评：本题考查曲线与方程，考查函数与方程思想，正确转化是关键．