Question

已知a=(2

3

cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，函数f（x）=a•b+|b|²．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积表示出函数f（x）的解析式后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=

2π

w

可得答案．
（2）先根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，再由三角函数的性质可得答案．

解答：解：（1）a=(2

3

cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，
f（x）=a•b+|b|²=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π
（2）∵

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]
∴函数f（x）的值域为[0，3]

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．一般都是把函数先化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函数的图象和性质可解题．