Question

已知函数f(x)=cos2ωx+2

3

cosωxsinωx-sin2ωx(ω＞0，x∈R)图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=

3

，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据题意求出周期，然后求ω的值；
（Ⅱ）通过f（A）=1，求出A的值，利用余弦定理关于b+c的表达式，然后求其最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2ωx+2

3

cosωxsinωx-sin2ωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)．（4分）
∵f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为

π

2

，
∴f（x）的最小正周期T=π．∴

2π

2ω

=π．∴ω=1．（7分）
（Ⅱ）由f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，得sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

．∴2A+

π

6

=

5π

6

．∴A=

π

3

．（11分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
因此，3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2．∴（b+c）²≤12．
于是，当b=c即△ABC为正三角形时，b+c的最大值为2

3

．（14分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，解三角形的知识，二倍角公式、两角和的正弦函数、余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的大小求解，是易错点．