Question

（2012•湖北）已知向量

a

=（cosωx-sinωx，sinωx），

b

=（-cosωx-sinωx，2

3

cosωx），设函数f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（

π

4

，0）求函数f（x）在区间[0，

3π

5

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2

3

cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+

3

sin2ωx+λ
=

3

sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z
∴ω=

k

2

+

1

3

，又ω∈（

1

2

，1）
∴k=1时，ω=

5

6

∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2× 5 6

=

6π

5

（2）∵f（

π

4

）=0
∴2sin（2×

5

6

×

π

4

-

π

6

）+λ=0
∴λ=-

2

∴f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

由x∈[0，

3π

5

]
∴

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（

5

3

x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

=f（x）∈[-1-

2

，2-

2

]
故函数f（x）在区间[0，

3π

5

]上的取值范围为[-1-

2

，2-

2

]

点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，向量数量积运算性质，复合函数值域的求法，整体代入的思想方法，属基础题