Question

已知曲线

x=2 3 cosθ y=4sinθ

上一点P到两定点A（0，-2）、B（0，2）的距离之差为2，则

AP

•

BP

为

 

．

Answer 1

分析：把已知曲线的参数方程化为普通方程，再求出双曲线的方程，将两曲线的方程联立方程组可解得x²=9，y²=4，代入

AP

•

BP

=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4进行运算可得答案．

解答：解：曲线

x=2 3 cosθ y=4sinθ

，即  

x2

12

+

y2

16

=1，到两定点A（0，-2）、B（0，2）的距离之差为2的点的轨迹
是以两定点A、B为焦点的双曲线，2a=2，c=2，∴b=

3

，
∴双曲线的方程为 

y2

1

-

x2

3

=1，点P（x，y），
把  

x2

12

+

y2

16

=1 和  

y2

1

-

x2

3

=1联立方程组可解得   x²=9，y²=4，
则

AP

•

BP

=（x，y+2）（x，y-2）=x²+y²-4=9+4-4=9，
故答案为9．

点评：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，用定义法求双曲线的标准方程，求两曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用．