Question

已知曲线方程f（x）=

1

3

x3-ax2（a∈R），若对任意实数m，直线l：x+y+m=0，都不是曲线y=f（x）的切线，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出导数，由条件可知，令导数为-1，方程无解，再由判别式小于0，即可得到．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x3-ax2（a∈R），
∴f′（x）=x²-2ax，
∵对任意实数m，直线l：x+y+m=0，都不是曲线y=f（x）的切线，
∴x²-2ax=-1无实数解，
即△＜0．即有：（2a）²-4＜0，
解得-1＜a＜1．
故答案为：（-1，1）．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查二次方程的解的情况，属于基础题．