Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁、F₂为椭圆的左右焦点，过F₂斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于M、N两点，△MF₁N的周长为8，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{17}{7}$（O为坐标原点），求|MN|．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，再由离心率求得c，利用隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x得一元二次方程，利用根与系数的关系及$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-$\frac{17}{7}$列式求得直线斜率，再由弦长公式求得|MN|．

解答 解：（1）如图，由题意可得，4a=8，得a=2，
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3．
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）F₂（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}$=-$\frac{17}{7}$，
即$（1+{k}^{2}）•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-{k}^{2}•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+{k}^{2}=-\frac{17}{7}$，
解得k=1（k＞0）．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}$．
则|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．