Question

10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2a+t}\\{y=3a-t}\end{array}\right.$ （t为参数）．
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相切，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式化简极坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；
（II）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，令△=0解出a，得到直线l的方程，求出直线l与坐标轴的交点坐标，计算三角形面积．

解答 解：（I）∵曲线C的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ，
∴2ρcos²θ=8sinθ，
∴ρ²cos²θ=4ρsinθ．
∴曲线C的直角坐标方程为x²=4y．
（II）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：t²+（4-4a）t+4a²-12a=0．
∵直线l与曲线C相切，
∴△=（4-4a）²-4（4a²-12a）=0，解得a=-1．
∴直线l的普通方程为x+y=-1．
∴直线l与坐标轴的交点为（0，-1），（-1，0）．
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的应用，属于中档题．