题目内容
已知椭圆
的右焦点
，长轴的左、右端点分别为
,且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过焦点斜率为
（
）的直线
交椭圆于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于
点. 试问椭圆上是否存在点
使得四边形
为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
（1）
；（2）
解析试题分析：（1）由椭圆的右焦点，即
.又长轴的左、右端点分别为,且，即可得
，即可求出
.从而得到椭圆的方程.
（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.假设存在点E由于对称性本小题的问题等价转化为
即可.所以表示出点E的坐标.代入椭圆方程根据的解得情况即可结论.
试题解析：（1）依题设
，
，则
，
.
由
，解得
，所以
.
所以椭圆的方程为.
（2）依题直线的方程为
.
由
得
.
设
,
,弦的中点为
，
则
，
，
，
，
所以
.
直线
的方程为
，
令
，得
，则
.
若四边形
为菱形，则
，
.
所以
.
若点在椭圆上，则
.
整理得
，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.
练习册系列答案
考前必练系列答案
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的焦点在x轴上．
：
的一个焦点为
，离心率为
．设
是椭圆
的直线
交椭圆于
，
两点.
的最大值.
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
的方程；
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点．试问直线
、
的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
的方程；
与椭圆
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
的左右顶点分别为
，离心率
．
为曲线
:
上任一点（
），直线
与直线
交于点
，
为线段
的中点，试判断直线
与曲线
，直线
过抛物线
的焦点
，交
轴于点
.
；
（异于原点），
是否恒成等差数列，请说明理由；
重心的轨迹是什么图形，请说明理由.
的椭圆
上求一点Q，使该点到直线（
的距离最大。