题目内容
已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
，过点
作与
轴不重合的直线
交椭圆于
、
两点，连结
、
分别交直线
于
、
两点．试问直线
、
的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（1）
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）由直线和圆相切，求
，再由离心率
，得
，从而求
，进而求椭圆的方程；（2）要说明直线、的斜率之积是否为定值，关键是确定、两点的坐标.首先设直线
的方程，并与椭圆联立，设
，利用三点共线确定、两点的坐标的坐标，再计算直线、的斜率之积，这时会涉及到
，结合根与系数的关系，研究其值是否为定值即可．
试题解析：（1）
，故
4分
（2）设，若直线
与纵轴垂直， 
则
中有一点与
重合，与题意不符，
故可设直线. 5分
将其与椭圆方程联立，消去得：
6分
7分
由
三点共线可知，
，
， 8分
同理可得
9分
10分
而
11分
所以
故直线、的斜率为定值
. 13分
考点：1、椭圆的标准方程和简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系.
练习册系列答案
相关题目
是抛物线
上不同的两点，点
在抛物线
的准线
上，且焦点
到直线
的距离为
.
过焦点
过原点
；③直线
平行
轴．
，且点
在椭圆C上，又
.
的方程；
与曲线
：
和
：
的焦点分别为
，
交于
两点（
为坐标原点），且
.
，交
，点
坐标为
，求△
面积的最小值.
= 2
，求直线l的方程．
的右焦点
，长轴的左、右端点分别为
,且
.
的方程；
（
）的直线
交椭圆
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于
点. 试问椭圆
使得四边形
为菱形？若存在，求
的准线与x轴交于点M，过点M作圆
的两条切线，切点为A、B，
.
与分别在
轴、
轴上的动点
满足：
,动点
满足
．
两点，直线
与直线
分别交于点
（
为坐标原点）；
为直径的圆的位置关系；
是否为定值？并证明你的结论.
经过点
，其左、右顶点分别是
、
，左、右焦点分别是
、
，
（异于
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
为直径的圆过点