Question

4．设满足y≥|x-a|的点（x，y）的集合为A，满足y≤-|x|+b的点（x，y）的集合为B，其中a，b为正数．
（1）用平面区域表示出集合A、B，并探求a，b的关系式，使A∩B≠∅．
（2）在（1）的条件下，求A∩B表示区域的面积．

Answer 1

分析 （1）在同一坐标系内画出y≥|x-a|、y≤-|x|+b所表示的平面区域，数形结合可得使A∩B≠∅的a，b之间的关系；
（2）由（1）知，A∩B所表示的图形为矩形ACBD，求出矩形面积即可．

解答 解：（1）不等式y≥|x-a|可化为$\left\{\begin{array}{l}{x-y-a≤0}\\{x≥a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+y-a≥0}\\{x＜a}\end{array}\right.$，画出它所表示的平面区域如图所示，
不等式y≤-|x|+b可化为$\left\{\begin{array}{l}{x-y-b≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b≥0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
将其表示的平面区域与A表示的平面区域画在同一坐标系中，
如图所示，要使A∩B≠∅，只要b≥a；
（2）由（1）知，A∩B所表示的图形为矩形ACBD，
BE=b-a，在Rt△BDE中，∠DBE=45°，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a），
又AD=AE+DE=$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b-a）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（b+a），
∴矩形面积S=BD•AD=$\frac{1}{2}（{b}^{2}-{a}^{2}）$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，正确作出图形是解答该题的关键，是中档题．