Question

19．已知圆${C_1}：{x^2}+{y^2}=2$，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T₁，T₂．
（1）若$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=0$，求点P的轨迹方程；
（2）设$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意，四边形OT₁T₂P是正方形，|OP|=2，可得点P的轨迹方程；
（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，利用$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，求出OP²，即可求M的面积．

解答 解：（1）由题意，四边形OT₁T₂P是正方形，∴|OP|=2，
∴点P的轨迹方程是x²+y²=4；
（2）由题意，点P在平面上构成的图形是以OP为直径的圆，设∠T₁OP=α，t=OP²，
∵$\overrightarrow{P{T_1}}•\overrightarrow{P{T_2}}=λ，λ∈[0，\frac{3}{5}]$，
∴（$\overrightarrow{O{T}_{1}}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{O{T}_{2}}$-$\overrightarrow{OP}$）=λ，
∴2cos2α-2$\sqrt{2}$OPcosα+OP²=λ，
∴$\frac{8}{t}$+t-6=λ，
∴t²-（6+λ）t+8=0，
∴t=$\frac{6+λ+\sqrt{（6+λ）^{2}-32}}{2}$（另一根舍去），
∴M的面积S=$\frac{1}{4}πt$=$\frac{6+λ+\sqrt{（6+λ）^{2}-32}}{8}π$．

点评 本题考查轨迹方程，考查面积的计算，确定轨迹方程是关键．