Question

14．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x，（a为实数）
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）若存在不等实根x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，e]，使方程g（x）=2e^xf（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=5代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（1）和g′（1），由直线方程的点斜式得切线方程；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分离变量a，然后构造函数h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，由导数求出其在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．

解答 解：（1）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e，
则切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（2）由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
令h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，h′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．

x	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）
h′（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+3e-2，h（1）=4，h（e）=$\frac{3}{e}$+e+2．
h（e）-h（$\frac{1}{e}$）=4-2e+$\frac{2}{e}$＜0．
则使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分离字母系数．