Question

已知曲线C₁：ρcos（）=；曲线C₂：ρ²=．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别把ρcos（）=和ρ²=化为直角坐标方程得x-y=1和x²+3y²=3，联立方程组，根据方程组解的个数可判断交点个数；
（2）分两种情况进行讨论：①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l方程与曲线C₂的方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可表示为关于k的函数，由k²范围可得的范围；当直线l不存在斜率时，易求A、B坐标及|MA|、|MB|、|AB|，此时可求的值，综合①②可得答案；
解答：解：（1）由ρcos（）=，得ρ（cosθ-sinθ）=，
所以x-y=1，
由ρ²=，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由得2x²-3x=0，解得x=0或x=，
所以曲线C₁与C₂的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
则，，
|MA|=，|MB|=，|AB|=，
==
===，
又k²≥0，所以＜≤=；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x²+3y²=3得y=，
此时==，
综合①②得的取值范围为[，]．
点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及弦长公式，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，（2）问中要考虑周全，直线l斜率不存在情况易漏．