Question

已知曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

；曲线C₂：ρ²=

3

2-cos2θ

．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别把ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

和ρ²=

3

2-cos2θ

化为直角坐标方程得x-y=1和x²+3y²=3，联立方程组，根据方程组解的个数可判断交点个数；
（2）分两种情况进行讨论：①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l方程与曲线C₂的方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可表示

|MA|•|MB|

|AB|

为关于k的函数，由k²范围可得

|MA|•|MB|

|AB|

的范围；当直线l不存在斜率时，易求A、B坐标及|MA|、|MB|、|AB|，此时可求

|MA|•|MB|

|AB|

的值，综合①②可得答案；

解答：解：（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

，得

2

2

ρ（cosθ-sinθ）=

2

2

，
所以x-y=1，
由ρ²=

3

2-cos2θ

，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由

x-y=1 x2+3y2=3

得2x²-3x=0，解得x=0或x=

3

2

，
所以曲线C₁与C₂的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2+3y2=3

得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
则x1+x2=

6k2

1+3k2

，x1x2=

3k2-3

1+3k2

，
|MA|=

1+k2

|x1-1|，|MB|=

1+k2

|x2-1|，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，

|MA|•|MB|

|AB|

=

(1+k2)|x1-1||x2-1|

1+k2 |x1-x2|

=

1+k2 |x1x2-(x1+x2)+1|

|x1-x2|

=

1+k2 | 3k2-3 1+3k2 - 6k2 1+3k2 +1|

( 6k2 1+3k2 )2- 4(3k2-3) 1+3k2

=

6

6

•

k2+1 k2+ 1 2

=

6

6

•

1+ 1 2k2+1

，
又k²≥0，所以

6

6

＜

|MA|•|MB|

|AB|

≤

6

6

•

2

=

3

3

；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x²+3y²=3得y=±

6

3

，
此时

|MA|•|MB|

|AB|

=

( 6 3 )2

2 6 3

=

6

6

，
综合①②得

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范围为[

6

6

，

3

3

]．

点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及弦长公式，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，（2）问中要考虑周全，直线l斜率不存在情况易漏．